Question

求y=x^1/x的极值，高中导数

Answer 1

函数的定义域为(0,+∞),两边取对数,得
lny=lnx/x
对x求导,得y'/y=(1-lnx)/x²
∴y'=x^(1/x)*(1-lnx)/x²
令y'=0,得1-lnx=0,x=e
当x>e时,y'<0;0<x<e时,y'>0
∴在x=e处取得极大值e^(1/e),没有极小值.

追问

x不能小于0吗？

x不能小于0吗？

追答

不可以，实数域内任何幂指函数的指数部分都为正，这里指数是1/x，为正，就意味着x>0

追问

可题目中没说这是什么函数啊？

追答

形如"y=[f(x)]^[g(x)]"的函数称为幂指函数,就像形如y=kx+b的函数称为一次函数,请问所有题目都会帮你把一次函数的名称写出来吗?

追问

有理

Answer 2

lny=ln[x^(1/x)]=(1/x)lnx
(lny)'=y'/y=[(1/x)lnx]'=(1-lnx)/x²
y'=y(1-lnx)/x²=(1-lnx)x^(1/x) /x²
令y'≥0，得：(1-lnx)x^(1/x)/x²≥0
lnx≤1，0<x≤e
函数在(0，e]上单调递增，在[e，+∞)上单调递减
x=e时，y取得极大值，ymax=e^(1/e)

追问

x不能小于0吗？

x不能小于0吗？

Answer 3

x=1,f(x)=|x-1|/x=0x>1,f(x)=|x-1|/x=1-1/xf'(x)=1/x²,f''(x)=-2/x³f(x)单增,是凸函数；x