Question

求解答！圆锥曲线！

Answer 1

(1)由第二定义或者由方程，得|PF|=(a^2-c^2)/a
而|AF|=a+c，所以|PF|/|AF|=1/2，即得e=c/a=1/2
(2)设P(x0,y0)，则有Q(x0-a,y0)，k(AP)=y0/(x0+a)，k(OQ)=y0/(x0-a),
k(AP)·k(OQ)=y0^2/(x0^2-a^2)，
P、Q分别代入椭圆方程，得x0=a/2，y0^2=(3b^2)/4，代入上式，再由第一问的离心率，

得k(AP)·k(OQ)=-3/4
(3)由题意，设MN方程为x/m+y/n=1，
由椭圆参数方程P(x0,y0)=P(acost,bsint),
由圆的切点弦方程，MN又可以表示为：
y*y0+x*x0=r^2，即(acost)*x+(bsint)*y=r^2=ab/(a^2+b^2)
与截距式作对比，得1/m=[(a^2+b^2)*cost]/b,1/n=[(a^2+b^2)*sint]/a
由b=√3，e=1/2，得a=2，所以3/m^2=49(cost)^2，4/n^2=49(sint)^2
所以3/m^2+4/n^2=49，为定值，证毕。
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我点评一下这道题啊，经常有同学抱怨圆锥曲线计算量大，其实，只要选对方法，计算量不会很大，第一问直角三角形很容易；第二问只要注意Q点的设法，和P、Q都是椭圆上一点这个条件，计算量也很小；第三问就要十分注意了，不要死算，有的同学一言不合就联立求Δ，不是说不行只是你时间不够，你要在有限的时间内算出来就要灵活——看到只有P在椭圆上，就可以想到参数方程，直接就省去联立椭圆方程这种麻烦事，而且看题目最后是平方和等于常数，就容易想到三角函数，——再看到圆外一点作圆的切线，求两个切点的直线方程，这不就是切点弦吗，又省去了很多步骤，——好了同一条直线有两种表示，自然就可以对比系数，很自然地，就可以求出来了。
同学们一定要跳出思维定势，不要老是死算，在头脑里做一个彻底的革命派

追问

椭圆的参数方程没学过