Question

离散数学高手请入，关于子群，陪集和同余关系

对于三次对称群<S3, ◇>，其中运算◇定义如下：
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◇ |P1 P2 P3 P4 P5 P6
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P1 |P1 P2 P3 P4 P5 P6
P2 |P2 P1 P5 P6 P3 P4
P3 |P3 P6 P2 P5 P4 P2
P4 |P4 P5 P6 P1 P2 P3
P5 |P5 P4 P2 P3 P6 P1
P6 |P6 P3 P4 P2 P1 P5

证明：<G={P1, P5, P6}，◇>是<S3, ◇>的子群，并计算该子群所确定的所有左陪集和右陪集，给出这些陪集形成的等价类。证明该陪集关系是同余关系。

Answer 1

证明 对有限群来说，仅需证明G对运算◇满足封闭性即可，从运算表可看出，对任意x,y属于G，x◇y属于G，故<G，◇>是<S3, ◇>的子群。
左陪集有：
1．P5G=P6G= P1G=P1{P1, P5, P6}={P1, P5, P6}
2．P3G=P4G= P2 G=P2{P1, P5, P6}={P2, P3, P4}
右陪集有：
1．GP5=GP6=GP1{P1, P5, P6}P1={P1, P5, P6}
2．GP3=GP4=GP2{P1, P5, P6}P2={P2, P4, P3}
对任意x属于G，xG=Gx,即左陪集等于右陪集，故<G，◇>是<S3, ◇>的正规子群，陪集关系是同余关系，其同余类（等价类）为
P1G和P2 G，即{P1, P5, P6}和{P2, P4, P3}。