Question

大一微积分一习题第七题

大一微积分一习题第七题第7题

Answer 1

有拉格朗日中值定理：
在x∈[b,a](其中，a>b)上，存在x=δ，使得，针对函数f(x),有如下等式成立：
f(a)-f(b)=f'(δ)(a-b)
在这里，f(x)=x^n，显然函数为增函数。
当a>b >0时，显然，a^n>b^n, 则有因为δ∈[b,a]
所以，nb^(n-1)<f'(δ)=nx^(n-1)<na^(n-1)
则 nb^(n-1)(a-b)<f'(δ)（a-b)=nx^(n-1)<na^(n-1)(a-b)
即：
nb^(n-1)(a-b)<f(a)-f(b)<na^(n-1)(a-b)
即：nb^(n-1)(a-b)<a^n-b^n<na^(n-1)(a-b)

Answer 2

令f(x)=x^n，x∈[b,a]
根据拉格朗日中值定理，存在k∈(b,a)，使得f'(k)=[f(a)-f(b)]/(a-b)
nk^(n-1)=(a^n-b^n)/(a-b)
因为0<b<k<a，所以b^(n-1)<k^(n-1)<a^(n-1)
即nb^(n-1)<(a^n-b^n)/(a-b)<na^(n-1)
nb^(n-1)*(a-b)<a^n-b^n<na^(n-1)*(a-b)
证毕