Question

数学分析考研真题，不会做，求指教

Answer 1

首先要会猜答案
如果x_n收敛, 极限为x, 那么x必定满足x=2+1/x^{1/2}, 换元u=x^{1/2}并通分得到u^3-2u-1=0, 解出三个解u1=-1, u2=(1+5^{1/2})/2, u3=(1-5^{1/2})/2. 由于u>0, 只能有u=u2, 然后得到x=(3+5^{1/2})/2.
所以接下来的问题归结为如何证明x_n确实收敛.
对于这类问题, 比较自然的想法是用单调有界性来证(当然, 未必总是可行, 不过总该试试看).
看到n>1时x_n>2, 那么下界至少有了. 要分析单调性可以直接作差
x_{n+1} - x_n = 1/x_n^{1/2} - 1/x_{n-1}^{1/2}
如果x_n > x_{n-1}则x_{n+1} < x_n; 如果x_n < x_{n-1}则x_{n+1} > x_n. 运气不够好, 这里没有单调性.
那么继续分析
x_{n+1} - x_n = 1/x_n^{1/2} - 1/x_{n-1}^{1/2} = - (x_n - x_{n-1}) / [x_n^{1/2} x_{n-1}^{1/2} (x_n^{1/2} + x_{n-1}^{1/2})]
利用之前的下界, 可得
|x_{n+1} - x_n| < |x_n - x_{n-1}| / 32^{1/2}
这样就好办了, 归纳一下得到存在常数C>0使得|x_n - x_{n-1}| < C/32^{1/2}, 然后
x_n = x_0 + (x_1 - x_0) + (x_2 - x_1) + ... + (x_n - x_{n-1})
当n->oo时右端是一个绝对收敛的级数, 所以x_n确实收敛.

追问

看不懂，能不能拍张照片？

追答

不能

Answer 2