Question

求第四小题的详解，多谢大佬！

Answer 1

设数列的通项为Xn，
则X1=0.9＝1-1/10,Xn=0.999...9＝1-1/10^n
证明lim(n→∞) Xn＝1
证明：|Xn-1|=1/10^n对于任意的正数ε(ε＜1),要使得|Xn-1|＜ε,即1/10^n＜ε,只要n＞lg(1/ε),
所以取正整数N=[lg(1/ε)],
当n＞N时,恒有|Xn-1|＜ε.
所以lim(n→∞) Xn＝1。

Answer 2

|0.999...9-1|=1/10^n
对于任意小的ε，由1/10^n< ε，解出 n>-lgε
于是取N=[-lgε]+1，当n>N时有 |0.999...9-1|=1/10^n<ε成立.
[-lgε]表示大于等于-lgε 的最小整数。

Answer 3

0.99999....9
=1-1/10^n
所以n趋于无穷时 = 1+0 = 1