Question

高数，求极限，∞－∞

高数，求极限，∞－∞这个我用1/t代换了x，然后构造了一个分母，之后通分，用洛必达做到这一步了。但是那个圈里面的极限怎么算啊？？

Answer 1

let y=-x
lim(x->-∞) [√(x^2+2x+sinx) + (x+2) ]
=lim(y->+∞) [√(y^2-2y-siny) + (-y+2) ]
=lim(y->+∞) [(y^2-2y-siny) - (-y+2)^2 ] /[√(y^2-2y-siny) - (-y+2) ]
=lim(y->+∞) [ 2y-siny -4 ] /[√(y^2-2y-siny) - (-y+2) ]
分子，分母同时除以 y
=lim(y->+∞) [ 2 -siny/y -4/y ] /[√(1-2/y- siny/y^2) - (-1+2/y) ]
=( 2-0-0)/(1+1)
=1

追问

嗯，这种分子有理化的方法我能做出来。但是我那种方法，怎么做不出来啊，我是从张宇的课上看的这种方法。

追答

t= -1/x
t->0+
√[1-2t+t^2.sin(1/t)] ~ 1-t
√[1-2t+t^2.sin(1/t)] + (-1+2t) ~ t
lim(x->-∞) [√(x^2+2x+sinx) + (x+2) ]
=lim(t->0+) [√[1/t^2-2/t+sin(-1/t)] + (-1/t+2) ]
=lim(t->0+) [√[1-2t+t^2.sin(-1/t)] + (-1+2t) ] /t
=lim(t->0+) t/t
=1

追问

再麻烦您一下，那个前两部等价代换是怎么得到的啊

追答

√[1-2t+t^2.sin(1/t)]

=√(1-2t+o(t)) 

= 1 -(1/2)(2t) +o(t)

=1 - t +o(t)

√[1-2t+t^2.sin(1/t)] + (-1+2t)
=1 - t +o(t) +(-1+2t)

= t +o(t)