Question

已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2(1)证明:{an}是等比数列,并求其通项公式；(2)求数列{(n+1)/an}的前n项和Tn

Answer 1

（1）证明：Sn=2an-2
S(n-1)=2a(n-1)-2
相减得an=2an-2a(n-1)，即an=2a(n-1)，n≥2
所以{an}是公比为2的等比数列
a1=S1=2a1-2，所以a1=1

an=a1*2^(n-1)=2^(n-1)
（2）(n+1)/an=(n+1)/2^(n-1)
错位减法
Tn=2/2^0+3/2+4/2²+...+(n+1)/2^(n-1)
所以Tn/2=2/2+3/2²+4/2³+...+n/2^(n-1)+(n+1)/2^n
所以Tn/2=3+1/2+1/2²+...+1/2^(n-1)-(n+1)/2^n
=3+(1/2)*(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)-(n+1)2^n
=4-1/2^(n-1)-(n+1)/2^n
=4-(n+3)/2^n

追问

（1）问的a1就求错了，a1=2

追答

是
（1）证明：Sn=2an-2
S(n-1)=2a(n-1)-2
相减得an=2an-2a(n-1)，即an=2a(n-1)，n≥2
所以{an}是公比为2的等比数列
a1=S1=2a1-2，所以a1=2

an=a1*2^(n-1)=2^n
（2）(n+1)/an=(n+1)/2^n
错位减法

Answer 2

1

追答

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