Question

问题如图，求过程

问题如图，求过程竞赛题

Answer 1

约定:[ ]内是下标
f(x)=x^n-(1/2)n(n-1)x^(n-2)+a[n-3]x^(n-3)+...+a[1]x+a[0],n≥3
设其n个实根是x[1]、x[2]、...、x[n],且x[1]≤x[2≤...≤x[n]
由韦达定理得:
x[1]+x[2]+...+x[n]=0 (1)
x[1]x[2]+x[1]x[3]+...+x[1]x[n]
+x[2]x[3]+x[2]x[4]+...+x[2]x[n]
+...+x[n-1]x[n]=-(1/2)n(n-1) (2)
由(1)(2) 得 x[1]<0,且x[n]>0
(1)²-2(2): x²[1]+x²[2]+...+x²[n]=n(n-1) (3)
(n-1)(x²[1]+x²[2]+...+x²[n-1])
≥(x[1]+x[2]+...+x[n-1])² (柯西不等式)
=(-x[n])²=x²[n]
即x²[1]+x²[2]+...+x²[n-1]≥x²[n]/(n-1) (4)
当x[1]=x[2]=...=x[n-1]时取"="
由(3)(4)得n(n-1)≥x²[n]/(n-1)+x²[n]
x²[n]≤(n-1)²,又x[n]>0
得x[n]≤n-1 当x[1]=x[2]=...=x[n-1]=-1时取"="
x[n]的最大值是n-1
所以 f(x)的最大根是n-1

Answer 2

东风无力百花残