Question

积分题如图

积分题如图第四题怎么做？谢谢

Answer 1

此题需要使用定积分的换元法，使两个积分区间一致，然后合并化简得出答案

Answer 2

由题设条件两边对x求导，有f'(x)=lnx/(1+x)①。∴f'(1/x)=ln(1/x)/(1+1/x)=-xlnx/(1+x)②。
对②，两边乘以(-1/x²)，有f'(1/x)(-1/x²)=lnx/[x(1+x)]③。
∴①+③，有f'(x)+f'(1/x)(-1/x²)=lnx/x，即[f(x)+f(1/x)]'=lnx/x。两边对x积分，∴f(x)+f(1/x)=(1/2)ln²x+C。
而，f(1)=0，∴C=0，∴f(x)+f(1/x)=(1/2)ln²x。
供参考。

Answer 3

根本看不到题号啊？！

Answer 4

证明：
1：证：欲证4是f(x)的一个周期，等价于对所有的x∈R有f(x)=f(x+4)
∵f(x)=-f(x+2)
∴f(x+2)=-f(x+4)
∴f(x)=f(x=4)
得证。

变式：同理，∵对所有的x∈R，f(x+2)=-1/f(x),
∴对所有的x∈R,f(x)≠0
∴f(x+4)=-1/f(x+2)=f(x)
得证。

2：证：∵f(x)是偶函数，所以有f(x)=f(-x)
又f(x)以2为周期，所以有f(x)=f(x-2)
∴f(3.5)=f(3.5-2)=f(1.5)=f(1.5-2)
=f(-0.5)=f(0.5)=0.52=0.25
4.
原式=lim(x->+**)1/x/1/x=1
5.
原式=lim(x->1)(1-x)/cosπx/2=lim(x->1)-1/-π/2*sinπx/2=2/π
6.
原式=lim(x->0+)(1/x-1/x)=0
7.
原式=lim(x->0+)e^tanx*ln1/x=e^lim(x->0+)(-tanx*lnx)=e^0=1
8.
原式=lim(x->0)e^2/x*ln(1-sinx)=lim(x->0)e^(-2sinx)/x=e^(-2)