Question

三重积分问题

如图，求详细解答

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Answer 1

首先你要了解，积分区域的基本形状。也就是说你的了解构成积分区域的空间曲面的一些常见形状。
本题中z=x^2+2y^2,它是一个开口在z轴上的旋转抛物面z=x^2+y^2，的y尺度放大后所来，所以形状基本不变，过坐标原点。
z=2-x^2是一个抛物柱面，开口向下，过（0，0，2）点。
那么对Z积分的上下限就确定了，下限就是旋转抛物面z=z=x^2+2y^2，上限就是抛物柱面z=2-x^2。

Answer 2

Answer 3

积分区域是一个椭球，这个题目中采用的是切片法的思想进行化简。用于Z轴垂直的平面且椭球，得到的椭圆方程为;x^2/a^2+y^2/b^2=1-z^2/c^2(这其中相当于把Z看作一个常数)，对于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1，其面积确实为πab，但这里的椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1-z^2/c^2，所以面积为πab（1-z^2/c^2），故有上面的结论。