Question

等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD垂直BC于D，CG‖AB,BG分别交AD,AC于E,F.求证：BE²＝EF×EG

Answer 1

证明：连接CE
。
易证三角形ABE
全等于
三角形ACE，则角ABE=角ACE，BE=CE.
又因为AB\\CG,所以角ABE=角G,
所以角ACE=角G,
又因为角GEC是公共角,
所以三角形EFC相似于三角形ECG,
所以EC/EG=EF/EC,
所以EC^2=EF*EG,
因为EC=BE,
所以BE^2=EF*EG

Answer 2

连接ce
∵ab=ac
∴∠b=∠c
∵ad⊥bc
∴bd=cd（等腰三角形底边的垂线是中线、角平分线）
∴ad是bc的垂直平分线
故：be=ce
在△abe和△ace中
∵ab=ac，be=ce，ae=ae
∴△abe≌△ace
∴∠abe=∠ace
∵cg‖ab
∴∠abe=∠cge
∵∠abe=∠ace
∴∠ace=∠cge
在△cef和△ceg中
∵∠fec=∠gec，∠fce=∠cge
∴△cef∽△ceg
∴ce/eg=ef/ce，ce^2=ef×eg
∵ce=be
∴be^2=ef×eg