Question

曲线y=1/x+ln(1+e^x)有几条渐近线。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

lim<x→0>1/x+ln(1+e^x) = ∞, x = 0 是垂直渐近线，
lim<x→-∞>1/x+ln(1+e^x) = 0 + 0 = 0,
lim<x→+∞>1/x+ln(1+e^x) = lim<x→+∞>1/x+ln[e^x(1/e^x+1)]
= lim<x→+∞>1/x+x+ln(1/e^x+1) = 0 + (+∞) + 0 = +∞
y = 0 是水平渐近线。 无斜渐近线。共 2 条渐近线。

追问

老师说还有一个斜渐近线的。。

追答

补充回答：
若有斜渐近线， 其斜率是
k = limy/x = lim1/x^2+ln(1+e^x)/x
因 lim[1/x^2+ln(1+e^x)/x]
= lim1/x^2 + limln(1+e^x)/x
= 0 + lim[e^x/(1+e^x)]/1 = lim1/[e^(-x)+1] = 1，
其截距是 b = lim(y-kx) = lim[1/x+ln(1+e^x)-x]
= lim1/x + lim[ln(1+e^x)-x]
= 0 + limln{e^x[(e^(-x)+1]}-x = limln[(e^(-x)+1] = 0，
则斜渐近线 y = x 。共 3 条渐近线。

Answer 3

如图。

Answer 4

就一条渐近线x=0.

Answer 5

=lim（e^x²-1-xln（1+x））/ln（1+x）（e^x²-1）
=lim（e^x²-1-xln（1+x））/x*x²
=lim（2xe^x²-ln（1+x）-x/（1+x））/3x²
=lim（2e^x²+4x²e^x²-1/（1+x）-1/（x+1）²）/6x
=lim（4xe^x²+8xe^x²+8x³e^x²+1/（x+1）²+2/（x+1）³）/6
=（1+2）/6
=1/2