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2020-02-16
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(1)、如图所示,连接AB交PC于点D,过点A作圆O的直径AF交BC于点G。
因为AB、PC为平行四边形PACB的对角线,所以点D为AB、PC的中点,
又因为PC=2PA,所以PA=PD=CD=BC,即△BCD为等腰三角形,
因为点B为弧CE的中点,有∠BCE=∠BAC,而∠CBD=∠ABC,
所以△ABC亦为等腰三角形,可知圆O为等腰△ABC的外接圆,
易知有AF⊥BC,即AF⊥PA,所以PA是圆O的切线。
(2)、如图所示,连接OD。
由题(1)结论△BCD、△ABC均为等腰三角形可知△BCD∽△ABC,
有BC/AB=BD/BC,因为点D为弦AB的中点,易知AB=2BD,OD⊥AB,
又因为PA=BC=2,所以2/(2BD)=BD/2,算得AD=BD=√2,AB=2√2,
因为AF⊥BC,易知直角△ABG∽直角△AOD,且在直角△ABG中由勾股定理算得AG=√7,
所以AG/AD=AB/AO,即√7/√2=2√2/AO,算得AO=(4√7)/7,即圆O的半径为(4√7)/7。
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追问
你好,很抱歉现在才看到,我想问一下,第(1)问最后那里“易知有AF⊥BC”是怎么得出来的?
追答
可以这样证明:连接OB、OC,有OB=OC,所以点O在BC的垂直平分线上,
又因为在等腰△ABC中AB=AC,所以点A在BC的垂直平分线上,
所以AO即为BC的垂直平分线,即AF⊥BC,
或者:连接OB、OC,由OB=OC、AB=AC、AO=AO证得△AOB≌△AOC(SSS),
所以∠OAB=∠OAC,即AF是∠BAC的角平分线,由“三线合一”即可知AF⊥BC。
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