Question

如图，初三数学？

补充：B是弧CE 的中点

Answer 1

（1）、如图所示，连接AB交PC于点D，过点A作圆O的直径AF交BC于点G。

因为AB、PC为平行四边形PACB的对角线，所以点D为AB、PC的中点，

又因为PC=2PA，所以PA=PD=CD=BC，即△BCD为等腰三角形，

因为点B为弧CE的中点，有∠BCE=∠BAC，而∠CBD=∠ABC，

所以△ABC亦为等腰三角形，可知圆O为等腰△ABC的外接圆，

易知有AF⊥BC，即AF⊥PA，所以PA是圆O的切线。

（2）、如图所示，连接OD。

由题（1）结论△BCD、△ABC均为等腰三角形可知△BCD∽△ABC，

有BC/AB=BD/BC，因为点D为弦AB的中点，易知AB=2BD，OD⊥AB，

又因为PA=BC=2，所以2/(2BD)=BD/2，算得AD=BD=√2，AB=2√2，

因为AF⊥BC，易知直角△ABG∽直角△AOD，且在直角△ABG中由勾股定理算得AG=√7，

所以AG/AD=AB/AO，即√7/√2=2√2/AO，算得AO=(4√7)/7，即圆O的半径为(4√7)/7。

追问

你好，很抱歉现在才看到，我想问一下，第（1）问最后那里“易知有AF⊥BC”是怎么得出来的？

追答

可以这样证明：连接OB、OC，有OB=OC，所以点O在BC的垂直平分线上，
又因为在等腰△ABC中AB=AC，所以点A在BC的垂直平分线上，
所以AO即为BC的垂直平分线，即AF⊥BC，
或者：连接OB、OC，由OB=OC、AB=AC、AO=AO证得△AOB≌△AOC（SSS），
所以∠OAB=∠OAC，即AF是∠BAC的角平分线，由“三线合一”即可知AF⊥BC。

可以这样证明：连接OB、OC，有OB=OC，可知点O在BC的垂直平分线上，
又因为在等腰△ABC中有AB=AC，可知点A在BC的垂直平分线上，
所以AO是BC的垂直平分线，即AF⊥BC。
或者：连接OB、OC，由OB=OC、AB=AC、AO=AO证得△AOB≌△AOC（SSS），
所以∠OAB=∠OAC，即AF是∠BAC的角平分线，所以由“三线合一”可知AF⊥BC。