Question

线性代数，线性方程组求解？

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Answer 1

先求系数矩阵行列式。
为此，后两列加到第 1 列， 然后后两行分别减去第 1 行，得
|A| = (3+λ)λ^2,
当 λ ≠ -3 且 λ ≠ 0 时，|A| ≠ 0，方程组有唯一解；
当 λ = 0 时，(A, b) =
[ 1 1 1 0]
[ 1 1 1 3]
[ 1 1 1 1]
初等行变换为
[ 1 1 1 0]
[ 0 0 0 3]
[ 0 0 0 1]
初等行变换为
[ 1 1 1 0]
[ 0 0 0 1]
[ 0 0 0 1]
r(A) = 1, r(A, b) = 2, 方程组无解。
当 λ = -3 时，(A, b) =

[-2 1 1 0]
[ 1 -2 1 3]
[ 1 1 -2 -3]
初等行变换为
[ 1 -2 1 3]
[ 0 3 -3 -6]
[ 0 -3 3 6]
初等行变换为
[ 1 0 -1 -1]
[ 0 1 -1 -2]
[ 0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 2 < 3, 方程组有无穷多解。
方程组化为
x1 = -1 + x3
x2 = -2 + x3
取 x3 = 0， 得特解 (-1, -2, 0)^T
导出组为
x1 = x3
x2 = x3
取 x3 = 1， 得基础解系 (1, 1, 1)^T
此时方程组通解 x = k(1, 1, 1)^T + (-1, -2, 0)^T。