Question

如图所示，根据已知条件，求出实对称矩阵A的另一特征值和对应的特征向量。这要怎么做呢？

要详细过程，最好写在纸上，谢谢

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Answer 1

矩阵的秩是2，不满秩，必有0这个特征值。而且差几满秩，就是几重特征值。
还有一个重要的性质，实对称矩阵不同特征值对应的特征向量，是正交的。

所以把α1xα2，得到的就是0对应的特征向量。注意，是叉乘

追问

叉乘是内积吗？

我翻了下课上的笔记，发现自己在该条性质旁边标注的是“内积”

标注了 内积=0

追答

向量相乘有两种乘法：
数量积，又称点乘，内积。结果是一个数。大小等于两个向量模的积乘以夹角余弦。
向量积，又称叉乘，外积。结果得到的是一个向量。该向量与两个源向量均垂直，方向满足右手定则，模的大小等于两个源向量的模的积乘以夹角正弦。

追问

我不是很理解您说的叉乘是怎么个乘法，我在网上搜索了下，也不是很理解，您能这题为例详细讲讲叉乘吗？
我最近在做习题，遇到不少这样的求特征向量的题，我都是用 内积=0算的 ，然后再解出齐次方程组的基础解系，这个基础解系就是这个特征值对应的特征向量了。
如果是按叉乘做，是可以直接得出结果吗？

追答

这个行列式，就是axb的向量积的定义。

展开后可得到c=axb= cx i + cy j+cz k

其中cx=aybz-byaz，……

向量积你们不可能没学的。好多地方要用的。例如高中导体在磁场中的受力F就等于I乘以 lxB。

追问

这样？

感觉计算量偏大，容易出错

按我上面那个方法做也可以的吧？

追答

计算量哪大了，你那个可是要解三元方程组啊。

追问

唉～是，是不算大。不过我能说这是高数书上的公式，就能让我产生本能的害怕吗？让我不想用它吗？昨晚我还做噩梦了（虽然您可能并不感兴趣我是昨晚是不否做梦，做了什么梦），梦到了我上考场 ，要做高数的题，结果我一题都不会。😥
不过人总是要做出改变的，“变则通，不变则那啥”，
总之，谢谢您的耐心解答