Question

定积分计算，对称区间偶函数，这步变化是不是少乘了一个2？

Answer 1

积分函数并不是偶函数， 分子是偶函数，分母是非奇非偶函数。
I = ∫<-π/2, π/2>(sinx)^4dx/[1+e^(-2x)]
= ∫<-π/2, 0>(sinx)^4dx/[1+e^(-2x)] + ∫<0, π/2>(sinx)^4dx/[1+e^(-2x)]
前者令 x = -u
I = ∫<π/2, 0>[sin(-u)]^4(-du)/[1+e^(2u)] + ∫<0, π/2>(sinx)^4dx/[1+e^(-2x)]
= ∫<0, π/2>(sinu)^4du/[1+e^(2u)] + ∫<0, π/2>(sinx)^4dx/[1+e^(-2x)]
定积分与积分变量无关， 将 u 换为 x
I = ∫<0, π/2>(sinx)^4du/[1+e^(2x)] + ∫<0, π/2>(sinx)^4dx/[1+e^(-2x)]
= ∫<0, π/2>{(sinx)^4/[1+e^(2x)] + (sinx)^4/[1+e^(-2x)]}dx

Answer 2