Question

高数题，需过程，谢谢

Answer 1

(1). 求微分方程 dy/dx=(x+y)/(x-y)的通解；
解：dy/dx=[1+(y/x)]/[1-(y/x)]..........①
令y/x=u，则y=ux........②; dy/dx=u+x(du/dx)...........③
将②③代入①式得：u+x(du/dx)=(1+u)/(1-u)；即x(du/dx)=(1+u)/(1-u)-u=(1+u²)/(1-u);
分离变量得：[(1-u)/(1+u²)]du=(1/x)dx；积分之：
∫[(1-u)/(1+u²)]du=∫du/(1+u²)-∫udu/(1+u²)=arctanu-(1/2)ln(1+u²)=lnx+lnc=lncx;
故通解为：arctan(y/x)-(1/2)ln[1+(y/x)²]=ln(cx);
(2). 求微分方程dy/dx-(y/x)=2x²满足初始条件y(1)=1的特解；
解: 先求齐次方程 dy/dx-(y/x)=0的通解。分离变量得：dy/y=dx/x；积分之得：lny=ln(c₁x);
即齐次方程的通解为：y=c₁x；将c₁换成x的函数u得y=ux........①；
取导数得：dy/dx=u+x(du/dx)........②；将①②代入原式得：u+x(du/dx)-u=2x²;
化简得：x(du/dx)=2x²；分离变量得：du=2xdx；积分之得u=x²+c；代入①式即得原方程的
通解：y=x³+cx；代入初始条件x=1，y=1得c=0；故特解为：y=x³；
(3). 求微分方程 dy/dx+2xy=4x的通解
解：dy/dx=2x(2-y)；分离变量得：dy/(2-y)=2xdx；
积分之：∫dy/(2-y)=-∫d(2-y)/(2-y)=-ln∣2-y∣=x²+c；即∣2-y∣=e^[-(x²+c)∣;
∴ 通解为：y=2±e^[-(x²+c)∣;
(4). 求微分方程 4(d²x/dt²)-20(dx/dt)+25x=0的通解
解：特征方程 4r²-20r+25=(2r-5)²=0的根r₁=r₂=5/2；
故通解为：x=[e^(5t/2)](C₁+C₂t)；
(5). 求微分方程 cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解
解：sinxcosydy=- cosxsinydx; 即有cotydy=-cotxdx;
积分之得：lnsiny=-lnsinx+lnc=ln(c/sinx)；故得siny=c/sinx;
即通解为：u(x,y)=sinxsiny=c;

追问

这些都是挑选出来不会的题，请指教，谢谢

Answer 2

我可以帮你写