Question

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时，f(x)>=0，求a的取值范围

Answer 1

这道题得用二重导，而且我最后也没全算出来，只能把思路给你

已知f(x)定义域R

求导f'(x)=e^x-1-2ax

再求导[f'(x)]'=e^x-2a

分类讨论

当-2a>=0,即a=<0时

[f'(x)]'在（0，正无穷）上恒为正，所以f'(x)在（0，正无穷）上递增，且f(0)最小值

代入计算f'(0)=0,所以f'(x)过原点，且在（0，正无穷）上>=0

所以f(x)也过原点，在（0，正无穷）上递增，正好符合f(x)>=0

当-1=<-2a<0，即0<a=<1/2时

[f'(x)]'在（0，正无穷）上恒为正，跟第一种情况一样

当-2a<-1,即a>1/2时
[f'(x)]与x轴交于点（ln2a）

所以不难看出f'(x)在（0，ln2a）上递减，在[ln2a,正无穷）上递增

但是下面就有问题了，要想继续研究下去，要求出f'(x)=0的解，也就是e^x-1-2ax的解

虽然可以看出第一个解是0，但这个方程式超越方程，第二个解我不会解，但是可以把思路告诉你

设这个方程的第二个解是m，（m是个含a的式子）

则f(x)在（0，m）上递减，在[m，正无穷）上递增

令最小值f(m)>=0，算出范围，在与a>1/2去交集就可以了，最后解得a的范围为K(这个也是设的，只是把思路给你)

综上，a的范围是（负无穷，1/2]和K