Question

y''+y=cosx求特解的时候为什么要多乘一个x？

图片的答案中，在设y''+y=cosx的特解方程的时候，为什么多乘了一个x？什么时候该多乘这个x呢？我看汤家凤老师的解法中说，若α+iβ是特征值的时候，则令y(x)=xe^(αx)[Acosβx+Bsinβx]，这里是什么意思呢？谢谢回答

Answer 1

当特征根与后面的λ+iw相同时，那么就要设为xQ（x）的形式。否则不需要带x。

追问

感谢您的回答。您的意思就是如果前面的齐次方程解出来的特征根是虚数形式的，也就是您说的r+_wi形式的，非齐次的通解前面就要乘x？如果是齐次方程解出来的特征根是别的情况，非齐次的通解方程就不乘x是吗？

追答

完全正确！

Answer 2

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 3

f(x)=e^(oX)*[1*cosx+O*sinx],
= e^(rX)*[M(X)*cosx+N(x)*sinx],
r=0,w=1
非齐次特解统设为
y*=
x^n* e^(rX)*[p(X)*cosx+Q(x)*sinx],
(其中n等于O或1,r±wi为特征方程的解时取1,不为解时取O;p,Q为m次多项式,m=max(M,N))
所以 y*=x* e^(0X)*[a*cosx+b*sinx],
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追问

感谢您的回答。您的意思就是如果前面的齐次方程解出来的特征根是虚数形式的，也就是您说的r+_wi形式的，非齐次的通解前面就要乘x？如果是齐次方程解出来的特征根是别的情况，非齐次的通解方程就不乘x是吗？

追答

是这样，无论特征值是实数或复数，特解都有乘以x^k
而且f(x)=e^(入x)*多项式时,k取0,1,2对应入不是,1次,2重特征方程的根

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