Question

高数求极限，怎么求这题

Answer 1

我来写一写，对原式取对数=lim（n→∞）(1/n)ln(a^n/n+b^n/n²)=lim(n→∞）(1/n)ln(na^n+b^n)-lim（n→∞）(2/n)lnn=（令n=x→+∞）(1/x)ln(xa^x+b^x)-lim（x→+∞）(2/x)lnx（对减号后面部分的式子使用洛必达，结果极限为零）=lim(x→+∞）ln(xa^x+b^x)/x（对这个式子使用洛必达法则）=lim(lnbb^x+a^x+xlnaa^x)/(xa^x+b^x)=lim[lna(b^x+xa^x)+(lnb-lna)b^x+a^x]/(b^x+xa^x)=lna+lim[(lnb-lna)a^x+b^x]/(b^x+xa^x)=(设b/a=m，且上下同除以a^x)lnb+lim(lnmm^x+1)/(m^x+x)
分类讨论，①当b/a＞1,m＞1，原式应该=e^(lna+lnm)=b
②当a=b,m=1,原式＝e^lna=a
③当0<b/a<1，原式=e^lna=a

Answer 2

详细过程可以是，当a≥b时，(a^n)/n+(b^n)/n²≥(a^n)/n+(b^n)/n≥2(a^n)/n。∴[(a^n)/n+(b^n)/n²]^(1/n)≥a(2/n)^(1/n)。
同理，当a<b时，[(a^n)/n+(b^n)/n²]^(1/n)≤b(2/n)^(1/n)。
而，lim(n→∞)(2/n)^(1/n)=1，∴原式=max(a,b)。
供参考。

追问

我想请教下，这个极限为什么等于1？

这是提取a^n后 把a开出去后的，剩余部分

而且为什么必须是a≥b才行

追答

区分a、b的大小，方便讨论、确认取值范围。

Answer 3

用夹逼定理，答案应该是 max(a,b)

追问

是的，具体过程怎么回事