Question

地下水流问题的数学模型

Answer 1

要确定一个地下水流问题的数学模型，只有在查明地质、水文地质条件的基础上才有可能。但天然地质体一般比较复杂，且处于不停的变动之中。为了便于解决问题，必须忽略一些和研究问题无关或关系不大的因素，使问题简化。这种对地质、水文地质条件加以概化后所得到的是天然地质体的一个物理模型。再从这个物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的。这样建立的一种数学结构便是数学模型。这个过程通常称为建立模型。

数学模型有两类。如果数学关系式中含有一个或多个随机变量的模型称为随机模型。如果数学模型中各变量之间有严格确定的关系，则称为确定性模型。本书主要讨论后者。

用确定性模型来描述实际地下水流时，如前述，必须具备下列条件：（1）有一个（或一组）能描述这类地下水运动规律的偏微分方程；同时，确定了相应渗流区的范围、形状和方程中出现的各种参数值。（2）给出了相应的定解条件。但问题到此并没有完结，因为这时我们对通过上述步骤建立的模型是否能确实代表所研究的地质体还没有把握；模型中出现的参数这时一般也不能确切给出。因此，必须对所建立的模型进行检验，即把模型预测的结果与通过抽水试验或其它试验对含水层施加某种影响后所得到的实际观测结果或一个地区地下水动态长期观测资料进行比较，看两者是否一致。若不一致，就要对模型进行校正，即修正条件（1）和（2），直至满意地拟合为止。这一步骤称为识别模型或校正模型。

经过校正后的模型，能代表所研究的地质体，或者说是实际水流系统的复制品了，因而可以根据需要，用这个模型进行计算或预测，例如预测矿床疏干时的涌水量及地下水污染情况预测等。

此外，模拟实际问题的数学模型还应满足下列基本条件：（1）解（即满足条件1和2的解）是存在的（存在性）；（2）解是唯一的（唯一性）；（3）这个解对原始数据是连续依赖的（稳定性）。要求所提问题的解存在和唯一是不言而喻的。第三个条件，即稳定性的要求，意味着当参数或定解条件发生微小变化时，所引起的解的变化也是很微小的。只有有了这条保证，当参数和定解条件的数据有某些误差时，所求得的解才能仍然接近于真解；否则，解是不可信的，并应该认为此时的数学模型是有毛病的。在实际工作中，原始数据有某种误差，在所难免，所以这个条件很重要。满足上述三个条件的问题称为适定问题，只要有一条不满足就是不适定问题。本书中所述及的问题都是适定的。

下面我们通过几个例子来说明如何用数学模型来描述地下水流问题。

例一　研究区的地质情况如图1—37所示。设W（x，y，t）代表单位时间、单位面积上的垂向补给量，P（x，y，t）为计划开采区单位面积上的抽水流量，试写出它的数学模型。

图1—37　某研究区示意图

（据J.Bear）

边界BC为天然隔水边界。河流切割整个含水层，两者有密切的水力联系。因此，边界AD可以作第一类边界处理。另外，有两个方向没有天然边界，含水层延伸很远，如何处理？一种办法是在远离开采区的、实际上不受该区抽水影响的地段人为地划定一条边界。在该地段根据有关资料选择由若干个有动态观测资料的钻孔组成的连线或选择一条等水头线或流线作为边界。在图1—37中以二条流线（BA和CD）作为边界（事实上其他两种方式可能更好些）。这时计算区就由ABCDA所围的区域组成。边界BA和CD是在假设那里实际上不受抽水影响的前提下人为划定的。显然，这个假设是否有效还要经过检验。另一种方法是在计算结束后把边界移向更远的地方，重复进行计算。如水位降深事实上不怎么受影响，则边界选择是合理的；否则，应把边界移到更远离开采区的地方，直至边界附近水头没有明显影响为止。

根据给出的条件描述这一潜水流的方程应是（1—95）式。渗流区是ABCDA，记为D。边界BA和CD相当于隔水边界。数学模型如下：

地下水动力学（第二版）

式中，H₀，f为已知函数，f为不同时刻的河水位；z（x，y）为隔水层标高。

例二　有的河流，由于河底有一弱透水层，河水与地下水没有直接的水力联系，只是通过弱透水层越流补给地下水。这段河流就不能作为第一类边界处理，应作越流项处理。如其它情况假设与例一相似，则方程式应改写为：

地下水动力学（第二版）

如抽水按（1—108）式处理，则去掉（1—120）式左端P这一项，另加边界条件：

地下水动力学（第二版）

上述式中，K_z和dz分别为河底弱透水层的垂向渗透系数和厚度，H_z为作越流项处理的河流的水位，均为已知值；rw_j和Q_j分别为第j口井的半径和流量；n为井数。

有了数学模型后，如果给定含水层的水文地质参数（T，μ等）和定解条件，就可以求解水头H。这类问题常称为正问题或水头预报问题。如果根据动态观测资料或抽水试验资料反过来确定水文地质参数，那么这一类问题就是前者的逆问题或反求参数问题。