已知三角函数值怎么求角度

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匿名用户
2022-03-18

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精彩点评一
认真学习了杨再蓉老师对2021年温州市中考数学第24题的解题教学研究，让我受益匪浅。
此题是一道一次函数与圆相结合的综合题，作为压轴题很是少见，但数与形的结合体现的淋漓尽致。杨老师注重通性通法，从不同的角度剖析不同的解法，但所有的解法又均来源于教材。
问题（1）要求圆M的半径和直线CM的函数解析式，通常涉及圆的半径的有关计算的题型的基础模型是在学习垂径定理时的例2，即赵州桥，或是涉及弧长、扇形面积、切线等相关知识的模型。但此题并未涉及上述模型，于是杨老师跳出圆，转化为求线段长，进而联想利用两点间距离公式或勾股定理进行解题。但实际上两点间距离公式的产生也是由勾股定理推出，杨老师在反思中也做了对课本习题的相关拓展，从而引出两点间的距离公式。这不仅是对课本的深度挖掘，也是一种作业设计的优化，而对于求直线CM的函数解析式，方法肯定是待定系数法，首要解决的是点M的坐标。杨老师从五种不同角度进行了分析，其核心就是数形结合，合理运用基本知识与技能，而每种解法背后反映的都是教师对知识体系的再构建和对教材的再解读。
问题（2）求点D、E的坐标，由问题（1）已知点M的坐标与直线CM的函数解析式，但D、E两点是直线CM与圆的交点，而圆的解析式在初中阶段并未涉及，如何处理对学生来说是一个难点。万变不离其宗，此类问题的方法是构建方程，那么如何寻找等量关系成了关键，杨老师将点的坐标转化为线段长，构建相似三角形，利用相似比求解，或利用勾股定理求解，亦可利用圆的相关性质构建一线三直角模型等，在问题（1）中利用了两点之间距离公式，问题（2）亦可顺延利用此方法求解。
问题（3）对学生的综合素养较高，△OBD是一个确定的三角形，对于∠AEP，由于点P为动点，且题目对于等量关系的不确定性，需要进行分类讨论。通过计算发现∠DBO=∠EAP=45°，因此此问可转化为两个方向，三角形相似与等腰直角三角形，杨老师由全等和相似或三角函数实现边角转化从而解决问题，整体思路清晰，反映出杨老师深厚的教学功底。
总而言之，杨老师确实为我们奉上了一场盛宴，尤其是反思部分，值得我们反复学习，向杨老师致敬。
精彩点评二
以我之见，2021年温州第24题，题目设计精巧，图形美观简洁，文字叙述明晰，考察目的明确，是一道不可多得的优秀压轴题。有幸曾听过杨再蓉老师所研2020年温州第24题，今年再研，研究水平再次上了一个新台阶，更有幸一同参与本次研题，在研讨过程中，更是感受到杨老师研究水平的迅速提升，极为难得的是，杨老师非常谦虚，总不断强调自己研究得不够透彻，完美验证了那句话，“学，然后知不足”，在教研活动中坚持学习，方能发觉自己更多的不足，否则，就在“自我满足”的陷阱中沉迷了。
本题3个小题，层次分明，关联紧密，第1小题学生上手容易，中位线、中点公式等方法快速得到点M坐标，结合已知的点C坐标，直线解析式并不难；无论走哪条路，相对难度是一样的，犹如敞开的大门，舒舒服服走进压轴题。
第2小题咋一看上去，圆的方程和直线方程不就可以求解了？但这是作为老师的想法，并且涉及到高中知识，在初中阶段并不合适，因此更多的思考应该从几何角度。代数向几何的转化，平面直角坐标系的概念绕不过去，于是杨老师从最基本的点的坐标分析，这恰恰是我们平时教学中非常容易忽视的地方。曾经听过不少七年级平面直角坐标系的公开课，鲜有如杨老师这般分析透彻，将坐标、距离、线段长度、方程等融合了起来。既从几何角度，那么图中的圆则又是另一个增色之处，在圆中，构造等量、直角等的方法，和直线型又不相同，所以它的解法也呈多样性。但不管哪一种解法，我们都可以从中找到教材的影子，例如两点间距离公式的背后，是勾股定理。
第3小题属于相似三角形存在性问题，当点P在不同位置时，△AEP的形状不同，而△OBD的形状却是固定的，因此题目中设置了“当∠AEP与∠OBD的一个内角相等时”这个条件，明显的分类标识。学生必须首先通过观察图形认知到，这两个三角形已经有一个内角是相等的，即∠EAP=∠OBD，并且这两个角还都比较特殊，为45°，特殊之处后面再说，在分类的过程中，对应关系会简洁一些，共三类。然后就是对学生构图能力的考察，作出相似三角形对学生来讲，是先从直观上认定结论，然后从推理中得到。在求OP长度的时候，涉及到边角间的转化，这两个三角形中，BD=AE恰好又给定了，有一对相等的边，所以分类过程中，有相似也有全等。前面提到了特殊的45°角，再加上本小题需要求边长，角度和边长这两个元素合在一处，容易联想到三角函数，因此本小题利用三角函数进行边角间的数量探究，也是一种较为简单的解法。从这个意义上讲，三角函数和相似三角形，本质上是一样的，即通过图形确定数量关系。
杨老师的教学反思是令我收获最大的，平时我们都会在上完课后有一些感叹，剔除掉里面的牢骚因素，剩下哪怕几句话，也属于教学反思，如果能在这几句话的基础上，更深入一些思考，经过组内交流，就是一次非常好的教研活动。关于平行线分线段成比例，它出现在九年级下册相似章节，作为相似三角形的预备定理，它的前身是八年级的中位线定理，所以我们在反思这部分教学的时候，一定要站在整个初中阶段的角度，平行线在七年级时的作用是建立“三线八角”间的关联，主要是角的数量关系。而在中位线定理之后，开始涉及到边长之间的数量关系，到分线段成比例定理的时候，则是边长比值的数量关系，层层递进。我们注意到中位线概念中，给出连接三角形两边中点的先决条件，探究的是它和第三边的数量关系和位置关系，这些在相似三角形中可以非常容易地解决，然而在八年级，我们则是通过全等三角形和平行四边形来解决，教材如此安排，显然有它的用意，并不是鼓励我们提前去教学生相似三角形，这容易造成学生认知中，对公理化体系的混淆。用知识解题容易，建立起知识网络很难，不可为解题而破坏知识结构。
关于教学习惯，是个中性词，如果朝好的一面发展，可升华为教学艺术，如果朝坏的一面发展，则成为教学定势，或套路。教师在平时教学过程中，肯定带有各式各样的风格，因人而异，这很正常，那么究竟这种习惯对学生发展是否有利，取决于它是否符合学生的学情，生源质量高，对习惯的容错性也会高，而生源质量差，几乎没有改错的机会，一旦被坏习惯影响，那将是终身的。所以从学生发展角度来看，教师需要判断自己的一些习惯是不是符合教学目标，是否依照课标。现实中存在少数教师，讲题时天马行空，经常用到学生未学习过的定理、公式，然后为了让学生更“明白”，于是提前将这些东西的皮毛教给学生，学生囫囵吞枣之下，难免消化不良，短期内用这些解决了眼前的问题，长久来看，没能真正理解它们，却又曾经“成功”运用过，这才是最无解的教学难题。
杨老师反思中的每一部分，恰好切中时弊，说明她平时的教学中，进行了大量这方面的思考，本次研题，展现的不过冰山一角，所谓心中一桶水，手上一碗水。每一次下课后，每一次作业批改后，都是宝贵的反思时间，日积月累，才有今日研题之精彩！
精彩点评三
2021温州中考的第24题是一道几何与代数结合的综合题，体现了建系解决问题中数与形的完美融合。条件简洁，阅读量少，学生不会望而却步。反复聆听了杨再蓉老师对此题的研究讲解，经历了一次头脑风暴，受益匪浅。杨老师带着我们探讨如何通过一道题，充分挖掘它在知识理解和思维方法诸方面的多种作用，以达到以一敌百之效。
（一）挖掘数学思维与方法，实现一题多解的多向探讨。
在解答每个小题时，杨老师都是多角度观察，多维度思考，第（1）问由相似、平行线分线段成比例、垂径定理、中点公式等求得点M的坐标；第（2）问，由直线CM解析式设D、E的坐标，代数方向运用两点间距离公式、两直线互相垂直斜率之积为负1，或从几何方向运用圆的对称性、相似、一线三直角等基本图形寻求等量关系得方程求得D、E的坐标。
（二）反思学生解题中的困难，实现数学课堂的实效性。
第（3）问，设问新颖，以点的运动引起角的变化，研究等角的存在性问题，满足了不同层次学生展示相应的能力水平。杨老师分析了学生解决此题会遇到问题：基础薄弱的学生没有分类讨论意识；没有定性分析与定量分析的习惯，未发现两个45度角的存在，忽视平面直角坐标系中由点的坐标得线段的长度这一隐性条件；不能结合具体情况画图，或画出图形不知如何实现边角的转化，对比我的学生，也一样存在这样几个问题。
而杨老师结合自己的教学实践，谈了自己面对教学“平行线分线段成比例”这一内容，对比自己的课堂，又何尝不是，对于极其简单的数学知识，自以为不用花太多时间仔细探究，而后患无穷。杨老师反观新手课与改进后的课堂，后续的教学效果是截然不同的，学生的成长真的得益于教师的成长。
（三）依托科学理论依据，实现核心素养的提升。
杨老师在研题中，遵循学生的认知规律，有效把握学情，将波利亚解题表（理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思）细化为学生容易接受实用的步骤，教会学生养成确定性分析的习惯，可谓是“授人以渔”的智慧。启迪老师要下题海，学生才能泛轻舟，每道题做完后要问自己三个问题：第一考了哪些知识点，哪些思想方法；第二为什么要这么做，还有没有其他的解法？哪种解法更好？那种解法最巧妙呢？第三可以怎么改编？
学无止境，研无止境，教无止境，一路同行，一路成长，感谢名师工作室这片沃土！
个人感言
2021年温州压轴题是一道代数几何综合题，本题题设简洁，阅读量少，图形漂亮，是几何与代数结合的综合题，体现建系解决问题中数与形的完美结合；本题蕴含的数学知识、思想方法丰富，渗透了分类讨论、方程函数、数形结合、转化等重要数学思想；其中第三问设问新颖，以点的运动引起角的变化展开研究，考察通性通法的同时，有利于不同层次的学生展示其相应的能力水平，充分体现素养立意。我是从以下三个方面进行研题反思的：
1. 读题看图理清题意注重定性定量分析
怎么样站在学生的角度把这道题讲透彻？我们要结合题目，边读题，边看图，细致去分析已知条件，由已知条件推导，在读题看图的过程中，要想“我们知道什么？”、“我们还能知道什么？”“距离题目要求的问题还有多远？”。本题三小问层层递进，三小问都可以通过读题，看图，展开确定性分析。若教师在教学过程中示范引导，借助此题让学生充分感受到确定性分析对解决问题带来的好处，会极大提升学生的思维品质。在今后的九年级教学中，我将把这道题当作提升学生确定性分析能力的营养大餐，献给学生！
2. 注重通性通法教学凸显数学本质理解
怎么样注重通性通法的教学？所谓通性通法是指具有某种规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学解题方法。在教学中，我们应该加强概念教学，体会通性通法的来龙去脉，找到知识的生长点。本题第一问的解法较多，这些解法背后有千丝万缕的联系，教师在教学过程中要善于站在整个初中数学的高度，要善于引导学生将这些知识建立联系. 在教学过程中，我们还可以通过优化和整合通性通法的解题过程，培养解题思维的深刻性。例如：本题第三问，借助一次函数求解OP2时，过点A作AE的垂线，与EP2的延长线交于点Q,容易求得AQ的长为(9√2)/5，进而求得点Q的坐标（19/5，-9/5），又已知点E的坐标，容易求得直线EQ的解析式为y=4x-17,令y=0时，则可以求出OP2的长！这样的方法是借助了∠1是45°，通过求AQ的长，然后求Q点的坐标。如果∠1不是45°，怎么求点Q的坐标呢？这样就对学生的思维提出了挑战性，我们可以通过构造一线三直角来解决问题！剥离这个图形，它的本质就是已知一个直角三角形的两边长，已知直角三角形两个点的坐标，要求另一个点的坐标问题！通性通法就是“化斜为直”，构造一线三直角，从而求得另外一个点的坐标。
3. 纵向横向反思教学全面提升教学能力
在研题之前仔细阅读张钦博士关于研题的一些指导建议，他说：题目只是载体，研题的目的是研究初中数学课堂教学，研题要关联三年的初中数学教学;研题老师在准备过程中重读课程标准，紧密联系教材和教师用书的相关章节，思考数学学科核心素养的培养，彰显团队研究教学的正确价值导向。题目都是老师们自己选定的，为什么选这道题，一定是触发了我们对教学的思考和启迪，所以教学反思环节切忌空话套话，要真思考并落地，不要让整个教学反思放到任何一道题后面都可以不改动一个字。
我个人理解张博士的用意是：老师要通过自己研题纵向反思自己的课堂教学，通过听他人研题横向反思自己的课堂教学。学，而后知不足，相比第一次研题，此次研题个人在教学反思上更贴近于自己的教学实际，进步之处是将波利亚解题步骤细化，让它真正接地气，变成学生解题利器；不足之处不胜枚举，对很多问题我也还没有研究透彻，比如如何将这道题更深层次的拓展，欣赏命题人智慧的同时也深感自己的命题能力不足，个人教学能力的提升空间实在太大！
归根到底，研题是为了反思，反思是为了更好的教学，而只有更好的数学教学才能促进数学学科发挥其特殊的育人价值，促进学生的全面发展！
最后，感谢张博士给的二次研题的机会，感谢黄新校长、袁晓芹老师、叶先玖老师在研题中给予的鼓励和指导，感谢全体十中数学组同胞，感谢本群内各位专家的聆听，在今后的教研路上我将与大家一路同行！
杨再蓉老师简介
杨再蓉，女，宜昌市第十中学教师。从教以来多年担任班主任和数学教学工作，坚持记读书笔记，坚持写教学反思，积累了丰富的教育教学经验！教育中将爱心送给学生，将诚信送给家长，信心留给自己，一直对教育有极高的热情！