Question

线性代数 向量部分的 两道选择题

Answer 1

填空题
3，向量组a1，a2显然秩等于2
两向量组等价，则秩相等，且可以相互线性表示
观察向量的第2个分量，凑一下：
b1=a2+a1
因此a=1
6
二次型写成矩阵
1 0 a
0 -1 2
a 2 0
化标准型
依次得到
1 0 0
0 -1 2
0 2 -a^2
1 0 0
0 -1 0
0 0 4-a^2
负惯性指数为1，则
4-a^2>=0
则a属于[-2,2]
答案没错！
选择题
3
D选项，显然正确，因为an就在向量组中，当然可以被线性表示
B选项，可以举范例，ar+1=ar+2=...=an=0，此时a1是无法被后面向量组线性表示的
6
应该选A！
B选项，等秩不一定等价，举个反例：
x1+x2+x3+x4=0
基础解系是
(1,0,0,-1)T
(0,1,0,-1)T
(0,0,1,-1)T
与其等秩的一个向量组是：
(1,0,0,0)T
(0,1,0,0)T
(0,0,1,0)T
显然其中向量都不是AX=0的解，因此不构成基础解系
D选项，3个向量相加，等于0，则线性相关，秩等于2，因此与原来基础解系，肯定不等秩，错误

Answer 2

填空题
3，向量组a1，a2显然秩等于2
两向量组等价，则秩相等，且可以相互线性表示
观察向量的第2个分量，凑一下：
b1=a2+a1
因此a=1
6
二次型写成矩阵
1 0 a
0 -1 2
a 2 0
化标准型
依次得到
1 0 0
0 -1 2
0 2 -a^2
1 0 0
0 -1 0
0 0 4-a^2
负惯性指数为1，则
4-a^2>=0
则a属于[-2,2]
答案没错！
选择题
3
D选项，显然正确，因为an就在向量组中，当然可以被线性表示
B选项，可以举范例，ar+1=ar+2=...=an=0，此时a1是无法被后面向量组线性表示的
6
应该选A！
B选项，等秩不一定等价，举个反例：
x1+x2+x3+x4=0
基础解系是
(1,0,0,-1)T
(0,1,0,-1)T
(0,0,1,-1)T
与其等秩的一个向量组是：
(1,0,0,0)T
(0,1,0,0)T
(0,0,1,0)T
显然其中向量都不是AX=0的解，因此不构成基础解系
D选项，3个向量相加，等于0，则线性相关，秩等于2，因此与原来基础解系，肯定不等秩，错误