Question

高等数学：是怎么想到用这样的思路去证明的？就是红笔标出来的地方

Answer 1

请记住，三角不等式|a-b|≤|a|+|b|永远都是数学中最重要的不等式，没有之一！而为了推证|f(x)|的性质，采取减一项再加一项的办法把|f(x)|写成
|f(x)|＝|[f(x)-A]+A|、利用三角不等式得出
|f(x)|≤|f(x)-A|+|A|、然后利用给定条件里涉及|f(x)-A|的内容得出需要的结论，更是高等数学经常采取的手段。若要问怎么想到用这样的思路，很遗憾答案只能是“这是数学训练到一定程度的结果”。其实，数学证明中采取“和拆”（即加一项，再减去这项）办法的例子随处可见，相信题主很快就会熟练作用它。

追答

最后的“作用”应改成“运用”

Answer 2

这个我不知道前面的命题2是什么了，如果是我证明，应该是这样，当x和y都大于等于零或者都小于等于零的时候，不等式两边是相等的。
x和y异号的时候，左边是x+y的绝对值。当x为正y为负，x-y的绝对值就是x-y，x+y的绝对值就看x和y谁的绝对值大了，无论x+y的绝对值是等于x+y还是-x-y，不等式都是满足的。
y为正x为负也是同理可证。

追答

可能我没太看清楚题，你这个是不是复数范围还是怎么样，答得不准确的地方还望见谅。