Question

题中e^x为什么不能用泰勒公式展开，展开是错的

Answer 1

=[e^x*(x^2+x-1)+1]/x^2
可以使用泰勒公式展开，e^x=1+x+x^2/2
limit((exp(x)*(x^2+x-1)+1)/x^2,0)=3/2
limit(((1+x)*(x^2+x-1)+1)/x^2,0)=2，错误
limit(((1+x+x^2/2)*(x^2+x-1)+1)/x^2,0)=3/2，正确，需要展开到2阶
因为分母为2阶，因此泰勒展开式至少需要展开到2阶

Answer 2

可以的。可以这样子做，更“简单”一些。原式=lim(x→0){(1+x)/[1-e^(-x)]-1/x}。
而，x→0时，e^(-x)~1-x+x²/2，∴1-e^(-x)~x-x²/2。
∴原式=lim(x→0)[(1+x)/(x-x²/2)-1/x]=lim(x→0)(1/x)[(1+x)/(1-x/2)-1]=…=3/2。
供参考。

Answer 3

不要的原因就是高阶出现了，低阶吸收高阶，前面有讲的，使用洛必达麻烦，每一步都需要验证比阶，就是分子分母的阶数。

追问

这里不能使用泰勒公式，不是可以使用

Answer 4

可以啊，不过你不觉得这样算很麻烦，不如直接求导，多方便

追答

你看，答案一样的啊