Question

大佬们，为什么x的2n-1次方除以2n-1这个幂级数收敛域及和函数的定义域不一样

x的2n-1次方/(2n-1) 它的收敛域是[-1，1)，它的和函数是1/(1-x平方)，这个函数定义域是(-1，1)

Answer 1

幂级数的收敛域为(一1,1),和函数的定义域是(一1,1),是一种东西的两种说法,是一样的,Sn(x)如下
ln(1+x)=x一x^2/2+x^3/3…
ln(1一x)=一x一x^2/2一x^3/3…
Sn(x)=
1/2[ ln(1+x)一ln(1一x)](一1<x<1)
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追问

就是幂级数的收敛域与和函数的定义域一定是一样的？

追答

是的

完全正确

函数为和函数

级数在收敛域收敛到和函数

望采纳

追问

我的和函数是1/2[ln(1-x)-ln(1+x)]和你结果相反，不过定义域都是(-1，1)，但是那个幂级数在[-1，1)是收敛的，-1这个端点和函数定义域取不到

追答

x=一1时,幂级数为
一1/(2n一1),发散

收敛域为(一1,1)

而且和函数也错了

追问

和函数哪里错了？ 收敛域我明白了

追答

x=1/2时,和函数>O
你的和函数<O

所以有两个错误点

追问

1/(1-x平方)=1/2 [1/(1-x)+1/(1+x)]

然后求不定积分等于1/2[ln(1-x)+ln(1+x)]

你那个结果分子等于-2x

追答

我是根据泰勒展开式得出来的

Answer 2

求求和函数，如果用到求导，那么收敛域可能缩小，用到积分，收敛域可能扩大，取决于端点处是否还能取到

Answer 3

f(x)= x^(2n-1)/(2n-1)
f(-1) = 1/(2n-1)
定义域是 [-1，1)
g(x) = 1/(1-x^2)
x=1 or -1, g(x) 没有定义！
定义域是(-1，1)

Answer 4

你如果能把你两个函数计算过程说明一下，别人会知道哪儿错了，矛盾肯定代表某个地方锉了

追问

x的2n-1次方/(2n-1) 它的收敛域是[-1，1)，它的和函数是1/(1-x平方)，这个函数定义域是(-1，1)

追答

你和函数求错了，它导函数才是1/(1-x^2)，和函数是1/(1-x^2)的积分

追问

和函数应该写成∫0至x 1/(1-t平方)dt吗？ 定义域是照抄[-1,1)?

追答

我一般是用不定积分而不是定积分求，求好以后再根据一些特定条件确定参数（如x=0时函数是多少），你这些问题老师不讲吗？