Question

1/（2+cosπx）在0，1上的定积分

Answer 1

具体回答如下：

根据题意，设πx=2t

1/（2+cosπx）在0，1上的定积分

=(2/π)∫(0,π/2)dt/(2+cos2t)

2+cos2t

=3cos²t+sin²t

=cos²t(3+tan²t)，

1/（2+cosπx）在0，1上的定积分

=[2/(π√3)]arctan(tant/√3)丨(t=0,π/2)=1/√3

定积分的意义：

若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

分享一种解法。设πx=2t。∴原式=(2/π)∫(0,π/2)dt/(2+cos2t)。
而，2+cos2t=3cos²t+sin²t=cos²t(3+tan²t)，
∴原式=[2/(π√3)]arctan(tant/√3)丨(t=0,π/2)=1/√3。
供参考。