Question

高数问题请问大佬这个微分方程怎么解？

题目如图，希望解答有具体演算过程，谢谢！
图2为参考答案，参考答案不一定准确。

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Answer 1

答案有误……希望过程清楚明白

Answer 2

令 u＝y/x，则 y＝xu，
dy＝udx＋xdu，
原方程两边同除以 xy，得
(u＋1/u)dx＋(udx＋xdu)＝0，
所以 du/[(2u²＋1)/u]＝ - dx / x，
积分得 1/4 * ln(2u²＋1)＝ - ln(Cx)，
因此 2u²＋1＝1/Cx^4，
即 2(y/x)²＋1＝1/Cx^4，
把x＝1，y＝1 代入得 C＝1/3，
所以得 2y²＋x²＝3/x²。

追问

验算过了吗？

确定是答案有误？

Answer 3

因为Py=Qx， 所以，积分与路径无关。
沿先平行于x轴路径，再平行于y轴路径。
沿x轴路径时，y=0

Answer 4

求微分方程 (y²+x²)dx+xydy=0满足Y(1)=1的特解；
解：两边同除以x²得：[(y/x)²+1]dx+(y/x)dy=0............①
令y/x=u，则y=ux；dy=udx+xdu；代入①式得：
(u²+1)dx+u(udx+xdu)=0；整理得：(2u²+1)dx+uxdu=0
分离变量得：dx/x+[u/(2u+1)]du=0
积分之，∫dx/x+∫[u/(2u²+1)]dy=lnx+(1/4)∫d(2u²+1)/(2u²+1)=lnc₁
即有：ln(2u²+1)=4ln(c₁/x)
故得：2u²+1=(c₁/x)^4;
将u=y/x代入即得通解：2(y/x)²+1=(c₁/x)^4;
将初始条件x=1,y=1代入，得 C=c₁^4=3，,故 c=(1/3)^(1/4);
故特解为：2(y/x)²+1=3/x^4;
或改写成：2x²y²+x^4=3；
注：你提供的答案是错的：(y/x)²=2lnx+1；两边对x取导数：2(y/x)[(xy'-y)/x²]=2/x；
化简得：y(xy'-y)=x²，于是得：xyy'-(x²+y²)=0；与原题比较，错个符号。