Question

高数求极限，答案没看懂

高数求极限，答案没看懂如下图，为什么我的方法不行，或者说，为单位方法错在哪里。
我以为我搞懂了这一系列问题，现在看来好像没懂。许多同学说lim加减不能直接等价，但是根据定义，只要满足条件，就是可以的啊。
关键，这个题目满足了这个条件啊，有没有前辈能解惑一下呢|ω・）

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Answer 1

你这个肯定不行啊，虽然arctanx和x是等价无穷小，但是你中间有一个减号啊！你这样的想法就是错误的呀，等价无穷小的成立前提条件有一个叫做：被代换的量作为被乘或者被除的元素，使可以直接用等价无穷小来代换，但是如果是作为加减的元素的情况，就不可以，所以你这的arctanx，不可以直接就替换成x，而必须要先像答案一样，先把这个分子拆开，然后再进行下一步的操作。

Answer 2

分子相加减确实极限为0，但是你就不管分母了吗？你不可能把分子的极限先求出来，再跟分母相除，极限自然算不出来了。
如果xcosx/x³和arctanx/x³极限都存在，那你可以直接相加减，但问题是这两个极限都不存在。

Answer 3

这题目是可以用泰勒公式做的，展开到合适的次方就可以了。
或者说用罗必塔法则，也可以。

等价无穷小这个，本质上就是泰勒公式，泰勒公式更清晰一些。

最后回答疑问
首先，极限肯定是可以用和差的极限等于极限的和差这一点的。
但有时候，用了是帮倒忙的，如
n趋于正无穷时，
lim1=lim(n+1-n)=lim (n+1)-lim n
=∞-∞反而没法求了。
这道题分开的话，也会出现类似情况。
齐次，等价无穷小，是可以相加减的，但本质是泰勒公式，要注意余项的阶，不如直接用泰勒公式。

追答

又看了下，你写的答案给的方法，属于奇技淫巧，本质上没啥大用。
这个所谓的技巧，可以用泰勒展开公式，暴力替代。
掌握这个技巧，纯属浪费功夫。

Answer 4

等价无穷小在大多数情况下只能替换参与乘除的因子

如果要替换参与加减的因子话，必须满足表达式中每个因子都存在极限 如
lim （x→0）(sinx+tanx+x)/x 就可以进行加减等价替换 因为 sinx/x,tanx/x,x/x的在x趋于0时的极限都存在
（注意不能忽略分母）

而题目中xcosx-x/x³ 与arctanx/x³的极限都不存在（因为分母极限为0.该式为不定式）
故不能直接等价其中一个因子
所以 。。。
只是推荐你在学习高数时一定要先理解定理。有时间的话一定要去尝试推导，这会使你在应用这些定理时更加得心应手。不要一味做题，刷题对考试是有很大作用的，但对于学习数学而言基本没用。

Answer 5

等价无穷小代换可以代入乘除，不可以在加减运算中局部代换，
将分子减数 arctanx 直接换为 x 是错误的。后面当然也就错了。