Question

原函数的问题

f(x)有原函数F(x),则F(x)一定连续吗？

Answer 1

是的。你说的是对的。
理由如下:
根据原函数的定义，原函数F'(x)=f(x),
原函数可导，利用可导函数则一定连续。
从而，原函数是联系续的。

Answer 2

郭敦顒回答：
一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任一原函数在区间[a，b]上的增量。
举例从感性认识上来理解这问题，对初学者易于接受些。
定积分∫[a，b]F′（x）dx=∫[a，b] f（x）dx，f（x）是导函数，F（x）是导函数的原函数，F′（x）= f（x），
如f（x）=2x。则F（x）= x²+C，当C=5时，F（x）= x²+5是导函数f（x）的一个原函数。
F（x）= x²+5中x=a是初始条件，那么原函数F（x）= x²+5的初值是
F（x）=F（a）= a²+5，当x=a=3时，F（x）= F（a）= 3²+5=14；
而F（x）= x²+5中x=b是终结条件，那么原函数F（x）= x²+5的终值是，
F（x）= F（b）=b²+5，当x=b=4时，F（x）= F（b）=4²+5=21。
原函数由初值到终值其增量△F（x）= F（b）－F（a）
=（b²+C）－（a²+C）=（b²+5）－（a²+5）=21－14=7
= b²－a²
=16－9=7
常数C为任何值在运算中都是要消去的。
定积分∫[a，b]F′（x）dx=∫[a，b] f（x）dx=∫[a，b] 2xdx
=x²|[a，b]
=b²－a²。
a=3，b=4时，
∫[3，4] 2xdx
=x²|[3，4]
=16－9=7
以上就证明和从实例上说明了“一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任一原函数在区间[a，b]上的增量。”

Answer 3

因为F(x)是原函数，所以F(x)的导数是f(x)，所以F(x)是可导的，可导就必然连续！