Question

高数求极限，求详解

Answer 1

设原式中求和部分为Sn
因为1/√(n^4+1)＞1/√(n^4+2)＞1/√(n^4+3)＞……＞1/√(n^4+n)
所以，1/√(n^4+n)+2/√(n^4+n)+……+n/√(n^4+n)＜Sn＜1/√(n^4+1)+2/√(n^4+1)+……+n/√(n^4+1)
即：(1+2+3+……+n)/√(n^4+n)＜Sn＜(1+2+3+……+n)/√(n^4+1)
==> [n(n+1)/2]/√(n^4+n)＜Sn＜[n(n+1)/2]/√(n^4+n)
而，lim<n→∞>[n(n+1)/2]/√(n^4+n)=1/2，且lim<n→∞>[n(n+1)/2]/√(n^4+1)=1/2
即，1/2＜Sn＜1/2
由夹逼原理知道，原式=1/2

Answer 2

(1+2+..+n)/√(n^4+n)≤1/√(n^4+1) +2/√(n^4+2)+...+n/√(n^4+n)
1/√(n^4+1) +2/√(n^4+2)+...+n/√(n^4+n) ≤(1+2+..+n)/√(n^4+1)
lim(n->∞) (1+2+..+n)/√(n^4+n) =lim(n->∞) n(n+1)/[2√(n^4+n)] = 1/2
lim(n->∞) (1+2+..+n)/√(n^4+1) =lim(n->∞) n(n+1)/[2√(n^4+1)] = 1/2
=>
lim(n->∞) [1/√(n^4+1) +2/√(n^4+2)+...+n/√(n^4+n) ] =1/2

Answer 3

等于1

Answer 4

如下图所示