Question

函数间断点问题

函数间断点问题给出一个分式 求此分式的间断点 和间断点类型 请问如何解决呢 给个思路

Answer 1

要使f(x)有意义，那么sinπx≠0，∴πx≠kπ，∴x≠k (k∈Z)，也就是说所有的x=k (k∈Z)都是f(x)的间断点。至于判断是何种类型的间断点，就要看在该点的极限是否存在。当x=k (k∈Z)时，分母=0，那么当分子=x³-x=0时，极限可能存在，此时的x=0，或±1。当x=0时，lim(x→0)f(x)=(3x²-1)/(πcosπx)=-1/π，极限存在；同理，lim(x→1)f(x)和lim(x→-1)f(x)都存在，因此x=0，±1是f(x)的第一类间断点中的可去间断点。而当x取k∈Z中其它的整数时，分子≠0，而分母=0，那么此时的极限是不存在的，因此x=k (k∈Z，且k≠0，k≠±1)是f(x)的第二类间断点中的无穷间断点。

Answer 2