Question

一道高数题？

求解

Answer 1

这个很简单
令分子等于 t，则 t 趋于0
例如，2^x-1=t，可得 x=ln（t+1）/ln2
那么原极限就是
lim（t->0）[t*ln2]/ln（t+1）
=lim（t->0）ln2/ln（t+1）^1/t
利用 lim（t->0）（t+1）^1/t = e
即可得到 lim（t->0）ln2/ln（t+1）^1/t = ln2
同理可得 ln3

Answer 2

因为(sinx)^n在[0,π/4]上连续
所以根据积分中值定理，存在ξ∈[0,π/4]使得
∫(sinx)^ndx （积分范围[0,π/4]）
=(π/4-0)*(sinξ)^n
=π/4*(sinξ)^n
因为ξ∈[0,π/4]，所以sinξ∈[0,√2/2]
所以 0≤sinξ<1
所以 当n→∞时，lim∫(sinx)^ndx = limπ/4*(sinξ)^n=0