Question

若n为正整数，求证n∧5-5n³+4n能被120整除

Answer 1

n^5-5n^3+4n
=n^5-n^3-4n^3+4n
=n^3*(n^2-1)-4n(n^2-1)
=n*(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
五个连续的整数必有一个能被5整除，所以上式能被5整除。
五个连续的整数至少有一个能被3整除，所以上式能被3整除。
五个连续的整数至少有一个能被4整除，而且(它-2)或者(它+2)一定能被8整除，所以上式能被8整除。
综上所述，原式能被3*5*8=120整除

Answer 2

由于n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=n(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
=P(n+2,5)
又n为正整数，故n,(n-2),(n-1),n,(n+1),(n+2)为五个连续整数！
（注：五个连续整数的乘积能被5！整除，可用数学归纳法证明）
所以n^5-5n^3+4n能被5!=120整除。