Question

一道高考数学题目，向量与解析几何的综合题

Answer 1

连结PF，由椭圆定义：
PE+PF=2a
PE+PQ=EQ=2a
故PF=PQ
即△PFQ为等腰三角形
因向量PT与向量TF的数量积等于0
即PT⊥TF
故TF=TQ
即T为QF中点
设P（x1，y1），T（x，y）
因|EQ|=2a
即(x1+c)²+²(y1)²=4a²
又T为QF中点
故x1+c=2x
y1=2y
带入上式
化简得
x²+²y²=a²
故点T轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆
设M坐标为（m，n）
则△EMF的面积S=1/2EF*|n|=b^2
即c|n|=b^2
|n|=b^2/c
当b^2/c≤a时
即a≤（1-√5）c/2时
存在这样的点M
此时由于椭圆的对称性应该有两个或四个这样的点
不妨以M在第一象限或y轴正半轴上时为例
此时M（[根号下（a^2c^2-b^4）]/c，b^2/c）
再利用直线的夹角公式求出
当b^2/c>a时
即a>（1-√5）c/2时
不存在这样的点M