Question

设函数f(x)具有一阶连续导数,f''(x)存在,且f'(0)=0

Answer 1

f
′
(a)=0,f
′′
(a)≠0
只是f(x)
在x=a
处取极值的充分条件,非必要条件.
比如f(x)=x^4
,有f
′
(0)=f
′′
(0)=0
但在
x=0
处显然是取极小值.
就这题而言：
因lim(x→0)
f
′′
(x)
/
|x|
=1
,由局部保号性有,
存在一去心邻域u°
(0,δ)
,使得对在这个去心邻域内有
f
′′
(x)
/
|x|
>
1
/
2
所以有f
′′
(x)>
|x|
/
2
>0
,而由连续性有f
′′
(0)=0
去是,在邻域u°(0,δ)
内有f
′′
(x)≥0
,且只x=0
处f
′′
(x)=0
于是f
′′
(x)
在邻域u°(0,δ)
内严格单增
于是在该邻域内有xf
′
(0)=0
,
导数是由负变正,所以取极小值.

Answer 2

x≠0时g`(x)=f`(x)x-f(x)/x^2
x=0时g`(x)=lim(x-->0)g(x)-g(0)/x=lim(x-->0)f(x)/x^2=lim(x-->0)f`(x)/2x=f``(0)/2
只需验证g`(x)在x=0连续即可
lim(x-->0)g`(x)=lim(x--0)f`(x)x-f(x)/x^2
=
lim(x-->0)f`(x)/x-
lim(x-->0)f(x)/x^2=f``(0)-1/2f``(0)=f``(0)/2=g`(0)
所以g(x)具有一阶连续导数