Question

如果A是实对称矩阵,且A^2=0,证明:A=0

Answer 1

用基本的矩阵知识就行。
使用矩阵乘积的定义。
设A是n阶方阵，第i行j列元素是aij.
A的转置记为A^T，则
0＝A^2＝A×A^T
所以A×A^T的主对角线元素
(a11)^2＋(a12)^2＋......＋(a1n)^2＝0
(a21)^2＋(a22)^2＋......＋(a2n)^2＝0
......
(an1)^2＋(an2)^2＋......＋(ann)^2＝0
所以，aij＝0，（i，j＝1，2，...，n）
所以，A＝0

Answer 2

a是实对称矩阵
a＝﹙aij﹚
aij＝aji
从aij²＝0
可得aij＝0
看a²的i行i列交点元素﹙a²﹚ii＝∑[1≤k≤n]aikaki＝∑[1≤k≤n]aikaik＝∑[1≤k≤n]aik²＝0[∵a²＝0]
∴aik²＝0
aik＝0
a的第i行全为0.
i任意。a的每一行都全为0.a＝0