Question

证明级数∑1/n^x （1<x<+oo)不一致收敛

Answer 1

证明要用到一个定理：如果函数列un(x)在[a,b]上连续，且级数∑un(x)在(a,b)上一致收敛，则数项级数∑un(a)和∑un(b)都收敛。这个定理用一致收敛的定义和数项级数收敛的柯西准则很容易证明。现在用反证法证明本题，假设∑1/n^x在(1,+∞)上一致收敛，则根据刚才的定理，∑un(1)=∑1/n收敛，但是调和级数∑1/n是发散的，这矛盾说明∑1/n^x在(1,+∞)上不一致收敛。