Question

曲面积分∫∫xdydz+y^2dzdy+zdxdy,Σ为平面上x+y+z=1被坐标平面所截的三角形的上侧;求曲面积分

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

求曲面积分∫∫
xdydz
+
y^2dzdx
+
zdxdy,其中Σ为平面上x
+
y
+
z
=
1被坐标平面所截的三角形的上侧。
补面:
Σ1:x
=
0,后侧
Σ2:y
=
0,左侧
Σ3:z
=
0,下侧
∫∫(Σ+Σ1+Σ2+Σ3)
xdydz
+
y^2dzdy
+
zdxdy
=
∫∫∫Ω
(1
+
2y
+
1)
dV
=
2∫∫∫Ω
(1
+
y)
dV
=
2∫(0→1)
dx
∫(0→1
-
x)
dy
∫(0→1
-
x
-
y)
(1
+
y)
dz
=
5/12
∫∫Σ1
xdydz
+
y^2dzdy
+
zdxdy
=
0
∫∫Σ2
xdydz
+
y^2dzdy
+
zdxdy
=
0
∫∫Σ3
xdydz
+
y^2dzdy
+
zdxdy
=
0
于是∫∫Σ
xdydz
+
y^2dzdy
+
zdxdy
=
5/12
用原本方法解出:(技巧性的做法,这样才能看出你对曲面积分有多么的了解)
求曲面积分∫∫
xdydz
+
y^2dzdx
+
zdxdy,其中Σ为平面上x
+
y
+
z
=
1被坐标平面所截的三角形的上侧。
∫∫Σ
xdydz
+
y^2dzdx
+
zdxdy
=
∫∫Σ
x
dydz
+
∫∫Σ
y^2
dzdx
+
∫∫Σ
z
dxdy
在yz面、∫∫Σ
x
dydz、x
=
1
-
y
-
z、取前侧
=
∫∫D
(1
-
y
-
z)
dydz、y
+
z
=
1与yz坐标面围成的面积
=
∫(0→1)
dy
∫(0→1
-
y)
(1
-
y
-
z)
dz
=
1/6
在zx面、∫∫Σ
y^2
dzdx、y
=
1
-
z
-
x、取右侧
=
∫∫D
(1
-
z
-
x)^2
dzdx
=
∫∫D
(z^2
+
x^2
+
2zx
-
2z
-
2x
+
1)
dzdx
=
∫(0→1)
dx
∫(0→1
-
x)
(z^2
+
x^2
+
2zx
-
2z
-
2x
+
1)
dz
=
1/12
在xy面、∫∫
z
dxdy、z
=
1
-
x
-
y、取上侧
=
∫∫D
(1
-
x
-
y)
dxdy
=
∫(0→1)
dx
∫(0→1
-
x)
(1
-
x
-
y)
dy
=
1/6
于是∫∫Σ
xdydz
+
y^2dzdx
+
zdxdy
=
1/6
+
1/12
+
1/6
=
5/12