Question

函数y=x-根号下(1-x^2)的值域为

Answer 1

首先求出定义域，然后利用三角换元法求值域
（注意三角函数中角的范围要符合原函数的定义域！）
解：
由定义域，
设x=cosβ，则√(1-x^2)=sinβ【其中β∈[2kπ，2kπ+π]】，（即确保√(1-x^2）=sinβ不小于0，）
则y=cosβ-sinβ=√2cos(β＋π/4)
(β+π/4)∈[2kπ+π/4，2kπ+5π/4],
故y=cosβ-sinβ=√2cos(β＋π/4)
∈[-√2,1].

Answer 2

解：
函数y=x-√(1-x).
换元，可设t=√(1-x).
则易知，此时函数
y=(1-t²)-t.
t≥0
∴1-y=t²+t
=[t+(1/2)]²-(1/4)
∴(5/4)-y=[t+(1/2)]²,
t≥0
易知，[t+(1/2)]²≥1/4
∴恒有(5/4)-y≥1/4
∴y≤1.
即函数值域为(-∞,1]