Question

若x方加y方=1，求x方+xy的最大值

Answer 1

解法如下：
已知x^2+y^2=1;令a+b=1,且a>0
,
b>0.
所以，ax^2+bx^2+y^2=1;
在这里缩放一次：(利用均值不等式)
ax^2+bx^2+y^2
>=
ax^2
+
2*根号下（bx^2+y^2）=
ax^2
+
2*根号下(b)|xy|
>=
ax^2
+
2*根号下(b)xy
令a
=
2*根号下(b)，结合a+b=1,且a>0
,
b>0.求出a
=
2根号下(2)
-
2
,
b
=
3
-
2根号下(2).
即：
ax^2
+
2*根号下(b)xy
=
(2根号下(2)
-
2)(x^2+xy)
<=
ax^2+bx^2+y^2=1
现在最关键是验证取等号条件：
（1）第二个大于等于号，当|xy|
=
xy取等号
（2）第一个大于等于号，当
根号下(b)*|x|
=
|y|取等号
所以：x^2+xy的最大值为：1/(2根号下(2)
-
2)
=
(根号下（2）+1)/2.