Question

取火柴的游戏是怎样的？

Answer 1

例1，桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1－3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，如果甲先取，那么谁将获胜。

获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1、2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的火柴根数都是4的倍数，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根火柴，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。

为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其他倍数根呢？关键在于规定每次只能取1－3根，1＋3＝4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜。

但假如桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1－6根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，如果甲先取，那么谁将获胜。

由例1的分析可知，只要始终留给对方1+6=7的倍数根火柴，就一定获胜。因为60÷7＝8……4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜。

由此我们可以看出，在每次取1－n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。

谁取走最后一根火柴谁输。

例2，桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1－3根。规定谁取走最后一根火柴谁输。如果双方都采用最佳方法，如果甲先取，那么谁将获胜。

在这种情况下，要想获胜，最后必须留给对方1根火柴。按照例1中的分析方法，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，则甲必胜。

由例2可以看出，在每次取1－n根火柴，取到最后一根火柴者输的规定下，谁能做到总给对方留下（1＋n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。

如果是两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者获胜。那么，先取者怎么样才能保证赢呢。

这时先取者在35根一堆的火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者就可以保证拿到最后一根火柴了。