Question

函数图像对称问题

Answer 1

1、关于某条直线对称：先在另外一个函数上取一点A（x，y）求出关于某条直线对称点B（x‘，y’），则B点满足这个函数
例如函数与另外一个函数关于直线x=2对称，先在所求函数上取一点A（x，y）关于x=2对称点为
（4-x，y）在已知函数上，代入得：y=f(4-x)就是所求的函数表达式
2、关于某点对称：先在另外一个函数上取一点A（x，y）求出关于某点对称点B（x‘，y’），则B点满足这个函数
例如函数与另外一个函数关于点（1，2）对称，先在所求函数上取一点A（x，y）关于
点（1，2）对称点为（2-x，4-y）在已知函数上，代入得：4-y=f(2-x)就是所求的函数表达式

Answer 2

看下面两个例题：
例1：函数y=ax^2+bx+c
与G(x)关于(2,1)对称
求G(x)函数的解析式
【解】
设（x0,y0）是已知函数图象上一点，该点关于（2，1）对称点（x，y），
则据中点坐标公式
x0+x=4,y0+y=2,即x0=4-x,y0=2-y。
∵（x0,y0）在已知函数图象上，把坐标代入得
2-y=a(4-x)^2+b(4-x)+c,
即y=-ax^2+(8a+b)x-16a-4b-c+2.
这就是函数G(x)的解析式。
例2：Y=X^2+X+1关于X=Y的对称函数的解析式
【解】设A（x，y）在函数Y=X^2+X+1上
则A关于y=x的对称点B（x',y'）在函数Y=X^2+X+1上的对称函数上
AB的中点C在y=x上
C的坐标为[(x+x')/2,(y+y')/2],
C在y=x上
(y+y')/2=(x+x')/2
（1）
直线AB的斜率垂直与y=x，
即kAB*k=-1
kAB=-1
kAB=（y-y'）/(x-x')
(2)
由（1）（2）可以解得：
x'=y,y'=x
设A（x，y）在函数Y=X^2+X+1上
将x'=yy'=x代入方程Y=X^2+X+1
所以
x'=y'^2+y'+1
这就是所求的解析式，即x=y^2+y+1。

Answer 3

y=f(-x)与y=f(x)的图像关Y轴对称。
y=-f(x)与y=f(x)
图像关于X轴对称。
y=-f(-x)与Y=f(x)图像关于原点对称。
f(m+x)=f(m-x)恒成立，
则f=(x)关于直线x=m对称。（想想抛物线关于x=m对称的情况吧）

Answer 4

有以下结论：
1）y=f(x)
关于直线
x=a
对称的函数解析式为
y=f(2a-x)
。
2）y=f(x)
关于点（a，b）对称的函数解析式为
y=2b-f(2a-x)
。
利用以上结论，可以方便快速地求出另一函数。

Answer 5

y=f(-x)与y=f(x)的图像关于
直线x=0
对称

y=-f(x)与y=f(x)
图像关于
直线y=0
对称

y=-f(-x)与y=f(x)图像关于
原点
对称

f(m+x)=f(m-x)恒成立
则f(x)关于
x=m
对称