Question

1*2+2*3+3*4……n（n+1）（n+2）=？

Answer 1

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2
(n-1)^2
n(n-1)]
=n^2
(n-1)^2
n^2-n
=2*n^2
(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2
1^2-2
3^3-2^3=2*3^2
2^2-3
4^3-3^3=2*4^2
3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2
(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2
3^2
...
n^2)
[1^2
2^2
...
(n-1)^2]-(2
3
4
...
n)
n^3-1=2*(1^2
2^2
3^2
...
n^2)-2
[1^2
2^2
...
(n-1)^2
n^2]-n^2-(2
3
4
...
n)
n^3-1=3*(1^2
2^2
3^2
...
n^2)-2-n^2-(1
2
3
...
n)
1
n^3-1=3(1^2
2^2
...
n^2)-1-n^2-n(n
1)/2
3(1^2
2^2
...
n^2)=n^3
n^2
n(n
1)/2=(n/2)(2n^2
2n
n
1)
=(n/2)(n
1)(2n
1)
1^2
2^2
3^2
...
n^2=n(n
1)(2n
1)/6
另外一个很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n
1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1
2
……
n=n(n
1)/2
于是3r=[n(n
1)/2]*(2n
1)
r=n(n
1)(2n
1)/6

Answer 2