Question

如图正六边形abcdef内接于圆o若圆o的半径为4则阴影部分的面积等于

Answer 1

解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
OD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=23，
∴S扇形OCD-S△COD=60π×42360-12×4×23=83π-43，
∴阴影部分的面积是：43+43+83π-43+8>∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=23，OM=OB•cos60°=2，
∴BD=2BM=43，
∴△BDO的面积是12×BD×OM=12×43×2=43，
同理△FDO的面积是43；∵∠COD=60°，OC=π-43=163π，
故答案为：163π．