Question

直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.圆:X^2+Y^2-2X-4Y-20=0.求证:M属于R,L与圆总相交

Answer 1

证明：由直线L的方程，得（x+y-4)+m(2X+Y-7)=0
所以由x+y-4=0
和
2x+y-7=0
解得
x=3,y=1
所以直线L过定点P（3,1），又圆心为A（1,2），r=5，而pc的长度小于r
所以直线L过定点p(3,1),故L圆A恒交于两点

Answer 2

直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4z经过定点（3,1)
圆方程可化为：(x-1)^2+(y-2)^2=25
圆心在(1,2)半径长＝5
故定点(3,1)在圆内，因圆心与定点距离＝√(3-1)+(1-2)^2=√5<5
故已知直线与圆总相交。

Answer 3

将直线L的方程改写成：y=(7m+4)/(m+1)-[(2m+1)/(m+1)]x
当x=3时，y=(7m+4)/(m+1)-3(2m+1)/(m+1)=(m+1)/(m+1)=1.
故直线L过定点A（3，1),而点A与园心C(1,2)的距离d=√[(3-1)^2+(1-2)^2]
=√5<园C的半径5，即点A在园内，故不论m是什么样的实数，直线L都与园C相交，即m∈R.

Answer 4

将直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4化成
﹙2x＋y－7﹚m＋x＋y－4＝0
∴直线L恒过的点是2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0组成的方程组的解
∴x＝3,y＝1
将这点代入园方程，园方程化成标准形式﹙x－1﹚²＋﹙y－2﹚²＝25
左边小于25，即点在园内，即直线与园恒相交