Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为（0,2^1/2）。

Answer 1

3）于是设AB:√2X-y+b=0，与椭圆C:
X^2/2+y^2/4=1
联立得4X^2+2√2
bX+b^2-4=0
得X1-X2=√(16-2b^2)
/
2
,
因AB的K=√2
,故
AB=
√3*√(16-2b^2)
/
2
又
C(0,0)
到AB的距离
H=
√3/3
*b
所以
S△ABC=1/2
AB*H
=√(16b^2-2b^4)
/
4
根号内
16b^2-2b^4
取导并令=0
,
得 b
=±2
时,
S△ABC
最大值=√2

Answer 2

1）设椭圆：X^2/b^2+y^2/a^2=1 ,F(
0,√2), a=c/e
=
2
,b^2=a^2-c^2=4-2=2
故椭圆C的方程:
X^2/2+y^2/4=1
2) X=1
代入椭圆C
,得
y=±√2 ,即
P(1,√2)
设
PA
:
y=
K(X-1)+√2 ,

因PA,PB为倾斜角互补的两条不同直线
, 故
PB :
y=
-
K(X-1)+√2
PA与椭圆C联立得(2+K^2)X^2-2(K^2-√2K)X+K^2-2√2(√2-K)/
(2+K^2)2K-2=0
得PA中点M的X坐标M(X)=(K^2-√2K)/(2+K^2),代入PA得M(y)=2(√2-K)/(2+K^2)
PB与椭圆C联立得(2+K^2)X^2-2(K^2+√2K)X
+K^2+2√2K-2=0
得PB中点N的X坐标N(X)=(K^2+√2K)/(2+K^2),代入PB得N(y)=2(√2+K)/(2+K^2)
因MN//AB
,故MN
的K
与AB的K相等
,
故AB的K=[M(y)-N(y)}/[
M(X)-N(X)]=[-4K/(2+K^2)]/[(-2√2K)/(2+K^2)]=√2
即直线AB的斜率为定值
=√2