Question

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a+b=13,c=7,

且4sin[(A+B)/2]^2-cos2C=7/2.
求△ABC的内切圆面积

Answer 1

将A+B用180-C来代替，则推出4cos(C/2)^2-cos2C=7/2
观察一下，将其变形位[4cos(C/2)^2-2]-cos2C=7/2-2=3/2，然后反用倍角公式，可得2cosC-cos2C=3/2,继续利用倍角公式变形可得2cosC-2cosC^2+1=3/2,借此一元二次方程可得出cosC=1/2,即C=60°。
然后利用余弦定理c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC ，得c^2=a^2+b^2-a*b=（a+b)^2-3*a*b,即是49=169-3*a*b，求得a*b=40,结合a+b=13，解得a=5,b=8(或a=8,b=5)
再根据三角形ABC的面积等于内心与三端点连线分割成的三个小三角形面积之和，求得内切圆半径为r^2=3,所以，最后求得内切圆的面积为3π=3*3.14=9.42